Lineare Algebra Beispiele

$2 x + y = 3$ , $6 x + 3 y = 9$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 6 & 3 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 6 & 3 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 3 - 6 (\frac{1}{2}) & 9 - 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{y}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = \frac{3}{2} - x$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\frac{3}{2} - x)$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\frac{3}{2} - x)$

Schritt 4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (\frac{3}{2} - x)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $2 (\frac{3}{2} - x)$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- x)$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 + 2 (- x)$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 3 - 2 x$

Schritt 4.4

Stelle $3$ und $- 2 x$ um.

$y = - 2 x + 3$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - 2 x + 3)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - 2 x + 3 \end{array}]$